最近，理学院数学系李莉博士在Navier-Stokes方程齐次解的存在性方面取得重要进展。研究成果发表于数学领域国际顶级期刊《Archive for Rational Mechanics and Analysis》(简称ARMA)，论文题目为《稳态Navier-Stokes方程在单位球上带有奇点的齐次解. 第一部分: 单个奇点》(Homogeneous solutions of stationary Navier-Stokes equations with isolated singularities on the unit sphere. I. One singularity); 另一篇论文发表于国际著名期刊《Journal of Differential Equations》(简称JDE)，论文题目为《稳态Navier-Stokes方程在单位球上带有奇点的齐次解. 第二部分: 轴对称无旋解的分类》(Homogeneous solutions of stationary Navier–Stokes equations with isolated singularities on the unit sphere. II. Classification of axisymmetric no-swirl solutions).

Navier-Stokes方程描述了粘性流体的运动，是流体力学的基本方程之一。带时间变量的不可压缩Navier-Stokes方程的正则性问题是数学界公开的七个千禧年难题之一。目前，对它的了解仍然非常有限。稳态Navier-Stokes方程的解可以描述稳定流体的运动。1944年，著名的物理学家Landau在比较严格的假设下，发现了稳态Navier-Stokes方程的一族显式的齐次特解，人们把这一族特解称为Landau解。1998年，田刚院士和香港中文大学辛周平教授证明了除原点外处处连续的所有齐次、轴对称、非零解必为Landau解。2011年明尼苏达大学教授Sverak采用一种全新的、几何化的方法去掉了轴对称的条件，他证明除原点外处处连续的所有齐次、非零解必为Landau解。Landau解是一种在原点处带有奇性的特解。更加有意思的是，Karch, Pilarczyk和Schonbek在2011年和2017年的工作中，证明了Landau解这样的奇性解居然是随时间渐进稳定的。因此研究稳态Navier-Stokes方程带有奇性的解具有重要意义。

该研究工作致力于研究比Landau解更加一般的带有奇性的齐次解的存在性问题。首先对单位球上带有一个奇点的齐次、无旋、轴对称解作了严格的分类，所有的解可以由一族带边的2参数曲面来表示。再进一步证明，在该2参数曲面的内部和一部分边界所对应的无旋解附近，存在一族带旋转的齐次轴对称解；在该2参数曲面的另一部分边界所对应的无旋解附近，不存在带有旋转的齐次轴对称解。

论文链接

https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-017-1181-5